Zgjidh {l}{x=7y+135}{y=4x}

$$\left. \begin{array} { l } { x = 7 y + 135 } \\ { y = 4 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-5$$

$$y=-20$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$x-7y=135$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-7y=135,-4x+y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-7y=135$$

Mblidh 7y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=7y+135$$

Zëvendëso x me 7y+135 në ekuacionin tjetër, -4x+y=0.

$$-4\left(7y+135\right)+y=0$$

Shumëzo -4 herë 7y+135.

$$-28y-540+y=0$$

Mblidh -28y me y.

$$-27y-540=0$$

Mblidh 540 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-27y=540$$

Pjesëto të dyja anët me -27.

$$y=-20$$

Zëvendëso y me -20 në x=7y+135. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=7\left(-20\right)+135$$

Shumëzo 7 herë -20.

$$x=-140+135$$

Mblidh 135 me -140.

$$x=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-5,y=-20$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$x-7y=135$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-7y=135,-4x+y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}&-\frac{-7}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&-\frac{7}{27}\\-\frac{4}{27}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 135\\-\frac{4}{27}\times 135\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-5,y=-20$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$x-7y=135$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-7y=135,-4x+y=0$$

Për ta bërë x të barabartë me -4x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-4x-4\left(-7\right)y=-4\times 135,-4x+y=0$$

Thjeshto.

$$-4x+28y=-540,-4x+y=0$$

Zbrit -4x+y=0 nga -4x+28y=-540 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-4x+4x+28y-y=-540$$

Mblidh -4x me 4x. Shprehjet -4x dhe 4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$28y-y=-540$$

Mblidh 28y me -y.

$$27y=-540$$

Pjesëto të dyja anët me 27.

$$y=-20$$

Zëvendëso y me -20 në -4x+y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-4x-20=0$$

Mblidh 20 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-4x=20$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$x=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-5,y=-20$$