Zgjidh {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x+36-3y=0$$

Zbrit 36 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x-3y=-36$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=90$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+90$$

Zëvendëso x me -y+90 në ekuacionin tjetër, x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Mblidh -y me -3y.

$$-4y+90=-36$$

Zbrit 90 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-4y=-126$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Zëvendëso y me \frac{63}{2} në x=-y+90. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Mblidh 90 me -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x+36-3y=0$$

Zbrit 36 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x-3y=-36$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x+36-3y=0$$

Zbrit 36 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x-3y=-36$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Zbrit x-3y=-36 nga x+y=90 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Mblidh x me -x. Shprehjet x dhe -x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$y+3y=90+36$$

Mblidh y me 3y.

$$4y=90+36$$

Mblidh 90 me 36.

$$4y=126$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Zëvendëso y me \frac{63}{2} në x-3y=-36. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Shumëzo -3 herë \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Mblidh \frac{189}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{117}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$