Zgjidh {l}{x+y=8}{2y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-x=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=8$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+8$$

Zëvendëso x me -y+8 në ekuacionin tjetër, -x+2y=1.

$$-\left(-y+8\right)+2y=1$$

Shumëzo -1 herë -y+8.

$$y-8+2y=1$$

Mblidh y me 2y.

$$3y-8=1$$

Mblidh 8 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=9$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në x=-y+8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-3+8$$

Mblidh 8 me -3.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-x=1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 8-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=5,y=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-x=1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

Për ta bërë x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-x-y=-8,-x+2y=1$$

Zbrit -x+2y=1 nga -x-y=-8 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-x+x-y-2y=-8-1$$

Mblidh -x me x. Shprehjet -x dhe x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-y-2y=-8-1$$

Mblidh -y me -2y.

$$-3y=-8-1$$

Mblidh -8 me -1.

$$-3y=-9$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në -x+2y=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x+2\times 3=1$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$-x+6=1$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-5$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=3$$