Zgjidh {l}{x+y=74}{40x+60y=3660}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 74 } \\ { 40 x + 60 y = 3660 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=39$$

$$y=35$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=74$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+74$$

Zëvendëso x me -y+74 në ekuacionin tjetër, 40x+60y=3660.

$$40\left(-y+74\right)+60y=3660$$

Shumëzo 40 herë -y+74.

$$-40y+2960+60y=3660$$

Mblidh -40y me 60y.

$$20y+2960=3660$$

Zbrit 2960 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$20y=700$$

Pjesëto të dyja anët me 20.

$$y=35$$

Zëvendëso y me 35 në x=-y+74. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-35+74$$

Mblidh 74 me -35.

$$x=39$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=39,y=35$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{60-40}&-\frac{1}{60-40}\\-\frac{40}{60-40}&\frac{1}{60-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 74-\frac{1}{20}\times 3660\\-2\times 74+\frac{1}{20}\times 3660\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\35\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=39,y=35$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Për ta bërë x të barabartë me 40x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 40 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$40x+40y=40\times 74,40x+60y=3660$$

Thjeshto.

$$40x+40y=2960,40x+60y=3660$$

Zbrit 40x+60y=3660 nga 40x+40y=2960 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$40x-40x+40y-60y=2960-3660$$

Mblidh 40x me -40x. Shprehjet 40x dhe -40x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$40y-60y=2960-3660$$

Mblidh 40y me -60y.

$$-20y=2960-3660$$

Mblidh 2960 me -3660.

$$-20y=-700$$

Pjesëto të dyja anët me -20.

$$y=35$$

Zëvendëso y me 35 në 40x+60y=3660. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$40x+60\times 35=3660$$

Shumëzo 60 herë 35.

$$40x+2100=3660$$

Zbrit 2100 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$40x=1560$$

Pjesëto të dyja anët me 40.

$$x=39$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=39,y=35$$