Zgjidh {l}{x+y=72}{x=63y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 72 } \\ { x = 63 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{567}{8} = 70\frac{7}{8} = 70.875$$

$$y = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 63y nga të dyja anët.

$$x-63y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=72,x-63y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=72$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+72$$

Zëvendëso x me -y+72 në ekuacionin tjetër, x-63y=0.

$$-y+72-63y=0$$

Mblidh -y me -63y.

$$-64y+72=0$$

Zbrit 72 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-64y=-72$$

Pjesëto të dyja anët me -64.

$$y=\frac{9}{8}$$

Zëvendëso y me \frac{9}{8} në x=-y+72. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{9}{8}+72$$

Mblidh 72 me -\frac{9}{8}.

$$x=\frac{567}{8}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{567}{8},y=\frac{9}{8}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 63y nga të dyja anët.

$$x-63y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=72,x-63y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{63}{-63-1}&-\frac{1}{-63-1}\\-\frac{1}{-63-1}&\frac{1}{-63-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{1}{64}&-\frac{1}{64}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{64}\times 72\\\frac{1}{64}\times 72\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{567}{8}\\\frac{9}{8}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{567}{8},y=\frac{9}{8}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 63y nga të dyja anët.

$$x-63y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=72,x-63y=0$$

Zbrit x-63y=0 nga x+y=72 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-x+y+63y=72$$

Mblidh x me -x. Shprehjet x dhe -x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$y+63y=72$$

Mblidh y me 63y.

$$64y=72$$

Pjesëto të dyja anët me 64.

$$y=\frac{9}{8}$$

Zëvendëso y me \frac{9}{8} në x-63y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-63\times \frac{9}{8}=0$$

Shumëzo -63 herë \frac{9}{8}.

$$x-\frac{567}{8}=0$$

Mblidh \frac{567}{8} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{567}{8}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{567}{8},y=\frac{9}{8}$$