Zgjidh {l}{x+y=500}{25x+35y=1450}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=500$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+500$$

Zëvendëso x me -y+500 në ekuacionin tjetër, 25x+35y=1450.

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

Shumëzo 25 herë -y+500.

$$-25y+12500+35y=1450$$

Mblidh -25y me 35y.

$$10y+12500=1450$$

Zbrit 12500 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$10y=-11050$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$y=-1105$$

Zëvendëso y me -1105 në x=-y+500. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

Shumëzo -1 herë -1105.

$$x=1105+500$$

Mblidh 500 me 1105.

$$x=1605$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1605,y=-1105$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1605,y=-1105$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Për ta bërë x të barabartë me 25x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 25 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

Thjeshto.

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

Zbrit 25x+35y=1450 nga 25x+25y=12500 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

Mblidh 25x me -25x. Shprehjet 25x dhe -25x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$25y-35y=12500-1450$$

Mblidh 25y me -35y.

$$-10y=12500-1450$$

Mblidh 12500 me -1450.

$$-10y=11050$$

Pjesëto të dyja anët me -10.

$$y=-1105$$

Zëvendëso y me -1105 në 25x+35y=1450. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

Shumëzo 35 herë -1105.

$$25x-38675=1450$$

Mblidh 38675 në të dyja anët e ekuacionit.

$$25x=40125$$

Pjesëto të dyja anët me 25.

$$x=1605$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1605,y=-1105$$