Zgjidh {l}{x+y=2}{x+1/2=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { x + \frac { 1 } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Zbrit \frac{1}{2} nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=2$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+2$$

Zëvendëso x me -y+2 në ekuacionin tjetër, x-y=-\frac{1}{2}.

$$-y+2-y=-\frac{1}{2}$$

Mblidh -y me -y.

$$-2y+2=-\frac{1}{2}$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2y=-\frac{5}{2}$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=\frac{5}{4}$$

Zëvendëso y me \frac{5}{4} në x=-y+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{5}{4}+2$$

Mblidh 2 me -\frac{5}{4}.

$$x=\frac{3}{4}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Zbrit \frac{1}{2} nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\\\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Zbrit \frac{1}{2} nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Zbrit x-y=-\frac{1}{2} nga x+y=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-x+y+y=2+\frac{1}{2}$$

Mblidh x me -x. Shprehjet x dhe -x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$y+y=2+\frac{1}{2}$$

Mblidh y me y.

$$2y=2+\frac{1}{2}$$

Mblidh 2 me \frac{1}{2}.

$$2y=\frac{5}{2}$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=\frac{5}{4}$$

Zëvendëso y me \frac{5}{4} në x-y=-\frac{1}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{2}$$

Mblidh \frac{5}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{3}{4}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$