Zgjidh {l}{x+y=130}{20x+5y=1925}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 130 } \\ { 20 x + 5 y = 1925 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=85$$

$$y=45$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=130$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+130$$

Zëvendëso x me -y+130 në ekuacionin tjetër, 20x+5y=1925.

$$20\left(-y+130\right)+5y=1925$$

Shumëzo 20 herë -y+130.

$$-20y+2600+5y=1925$$

Mblidh -20y me 5y.

$$-15y+2600=1925$$

Zbrit 2600 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-15y=-675$$

Pjesëto të dyja anët me -15.

$$y=45$$

Zëvendëso y me 45 në x=-y+130. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-45+130$$

Mblidh 130 me -45.

$$x=85$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=85,y=45$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-20}&-\frac{1}{5-20}\\-\frac{20}{5-20}&\frac{1}{5-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 130+\frac{1}{15}\times 1925\\\frac{4}{3}\times 130-\frac{1}{15}\times 1925\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\45\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=85,y=45$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Për ta bërë x të barabartë me 20x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 20 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$20x+20y=20\times 130,20x+5y=1925$$

Thjeshto.

$$20x+20y=2600,20x+5y=1925$$

Zbrit 20x+5y=1925 nga 20x+20y=2600 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$20x-20x+20y-5y=2600-1925$$

Mblidh 20x me -20x. Shprehjet 20x dhe -20x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$20y-5y=2600-1925$$

Mblidh 20y me -5y.

$$15y=2600-1925$$

Mblidh 2600 me -1925.

$$15y=675$$

Pjesëto të dyja anët me 15.

$$y=45$$

Zëvendëso y me 45 në 20x+5y=1925. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$20x+5\times 45=1925$$

Shumëzo 5 herë 45.

$$20x+225=1925$$

Zbrit 225 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$20x=1700$$

Pjesëto të dyja anët me 20.

$$x=85$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=85,y=45$$