Zgjidh {l}{x+y=100}{60x+70y=630}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 630 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=637$$

$$y=-537$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=100$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+100$$

Zëvendëso x me -y+100 në ekuacionin tjetër, 60x+70y=630.

$$60\left(-y+100\right)+70y=630$$

Shumëzo 60 herë -y+100.

$$-60y+6000+70y=630$$

Mblidh -60y me 70y.

$$10y+6000=630$$

Zbrit 6000 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$10y=-5370$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$y=-537$$

Zëvendëso y me -537 në x=-y+100. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\left(-537\right)+100$$

Shumëzo -1 herë -537.

$$x=537+100$$

Mblidh 100 me 537.

$$x=637$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=637,y=-537$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 630\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 630\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}637\\-537\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=637,y=-537$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

Për ta bërë x të barabartë me 60x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 60 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=630$$

Thjeshto.

$$60x+60y=6000,60x+70y=630$$

Zbrit 60x+70y=630 nga 60x+60y=6000 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$60x-60x+60y-70y=6000-630$$

Mblidh 60x me -60x. Shprehjet 60x dhe -60x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$60y-70y=6000-630$$

Mblidh 60y me -70y.

$$-10y=6000-630$$

Mblidh 6000 me -630.

$$-10y=5370$$

Pjesëto të dyja anët me -10.

$$y=-537$$

Zëvendëso y me -537 në 60x+70y=630. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$60x+70\left(-537\right)=630$$

Shumëzo 70 herë -537.

$$60x-37590=630$$

Mblidh 37590 në të dyja anët e ekuacionit.

$$60x=38220$$

Pjesëto të dyja anët me 60.

$$x=637$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=637,y=-537$$