Zgjidh {l}{x+y=-6}{y=3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 6 } \\ { y = 3 x - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=-6$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y-6$$

Zëvendëso x me -y-6 në ekuacionin tjetër, -3x+y=-2.

$$-3\left(-y-6\right)+y=-2$$

Shumëzo -3 herë -y-6.

$$3y+18+y=-2$$

Mblidh 3y me y.

$$4y+18=-2$$

Zbrit 18 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4y=-20$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$y=-5$$

Zëvendëso y me -5 në x=-y-6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\left(-5\right)-6$$

Shumëzo -1 herë -5.

$$x=5-6$$

Mblidh -6 me 5.

$$x=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-1,y=-5$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{1}{4}\left(-2\right)\\\frac{3}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-1,y=-5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

Zbrit -3x+y=-2 nga x+y=-6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x+3x+y-y=-6+2$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x+3x=-6+2$$

Mblidh x me 3x.

$$4x=-6+2$$

Mblidh -6 me 2.

$$4x=-4$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në -3x+y=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-3\left(-1\right)+y=-2$$

Shumëzo -3 herë -1.

$$3+y=-2$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-1,y=-5$$