Zgjidh {l}{x+y=-4}{y=5x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 4 } \\ { y = 5 x + 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-1$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=-4$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y-4$$

Zëvendëso x me -y-4 në ekuacionin tjetër, -5x+y=2.

$$-5\left(-y-4\right)+y=2$$

Shumëzo -5 herë -y-4.

$$5y+20+y=2$$

Mblidh 5y me y.

$$6y+20=2$$

Zbrit 20 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6y=-18$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në x=-y-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\left(-3\right)-4$$

Shumëzo -1 herë -3.

$$x=3-4$$

Mblidh -4 me 3.

$$x=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-1,y=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-5\right)}&-\frac{1}{1-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{1-\left(-5\right)}&\frac{1}{1-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-4\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{5}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-1,y=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Zbrit -5x+y=2 nga x+y=-4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x+5x+y-y=-4-2$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x+5x=-4-2$$

Mblidh x me 5x.

$$6x=-4-2$$

Mblidh -4 me -2.

$$6x=-6$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në -5x+y=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-5\left(-1\right)+y=2$$

Shumëzo -5 herë -1.

$$5+y=2$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-1,y=-3$$