Zgjidh {l}{x+3y=14}{y=-4x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 14 } \\ { y = - 4 x + 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+3y=14,4x+y=1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+3y=14$$

Zbrit 3y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-3y+14$$

Zëvendëso x me -3y+14 në ekuacionin tjetër, 4x+y=1.

$$4\left(-3y+14\right)+y=1$$

Shumëzo 4 herë -3y+14.

$$-12y+56+y=1$$

Mblidh -12y me y.

$$-11y+56=1$$

Zbrit 56 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-11y=-55$$

Pjesëto të dyja anët me -11.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në x=-3y+14. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-3\times 5+14$$

Shumëzo -3 herë 5.

$$x=-15+14$$

Mblidh 14 me -15.

$$x=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-1,y=5$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+3y=14,4x+y=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 14+\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}\times 14-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-1,y=5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+3y=14,4x+y=1$$

Për ta bërë x të barabartë me 4x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x+y=1$$

Thjeshto.

$$4x+12y=56,4x+y=1$$

Zbrit 4x+y=1 nga 4x+12y=56 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$4x-4x+12y-y=56-1$$

Mblidh 4x me -4x. Shprehjet 4x dhe -4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$12y-y=56-1$$

Mblidh 12y me -y.

$$11y=56-1$$

Mblidh 56 me -1.

$$11y=55$$

Pjesëto të dyja anët me 11.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në 4x+y=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$4x+5=1$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=-4$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-1,y=5$$