Zgjidh {l}{x+3=2y+1}{2x-1=y+1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 = 2 y + 1 } \\ { 2 x - 1 = y + 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x+3-2y=1$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$x-2y=1-3$$

Zbrit 3 nga 1 për të marrë -2.

$$x-2y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-1-y=1$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$2x-y=1+1$$

Shto 1 dhe 1 për të marrë 2.

$$2x-y=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-2y=-2$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=2y-2$$

Zëvendëso x me -2+2y në ekuacionin tjetër, 2x-y=2.

$$2\left(2y-2\right)-y=2$$

Shumëzo 2 herë -2+2y.

$$4y-4-y=2$$

Mblidh 4y me -y.

$$3y-4=2$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=6$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x=2y-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=2\times 2-2$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$x=4-2$$

Mblidh -2 me 4.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x+3-2y=1$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$x-2y=1-3$$

Zbrit 3 nga 1 për të marrë -2.

$$x-2y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-1-y=1$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$2x-y=1+1$$

Shto 1 dhe 1 për të marrë 2.

$$2x-y=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{2}{3}\times 2\\-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x+3-2y=1$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$x-2y=1-3$$

Zbrit 3 nga 1 për të marrë -2.

$$x-2y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-1-y=1$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$2x-y=1+1$$

Shto 1 dhe 1 për të marrë 2.

$$2x-y=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

Për ta bërë x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\left(-2\right),2x-y=2$$

Thjeshto.

$$2x-4y=-4,2x-y=2$$

Zbrit 2x-y=2 nga 2x-4y=-4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-2x-4y+y=-4-2$$

Mblidh 2x me -2x. Shprehjet 2x dhe -2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-4y+y=-4-2$$

Mblidh -4y me y.

$$-3y=-4-2$$

Mblidh -4 me -2.

$$-3y=-6$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në 2x-y=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x-2=2$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=4$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=2$$