Zgjidh {l}{x+2y=y-x}{x+y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = y - x } \\ { x + y = 0 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x+2y-y=-x$$

Kombino 2y dhe -y për të marrë y.

$$x+y=-x$$

Shto x në të dyja anët.

$$x+y+x=0$$

Kombino x dhe x për të marrë 2x.

$$2x+y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+y=0,x+y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+y=0$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-y$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)y$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -y.

$$x=-\frac{1}{2}y$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{2} në ekuacionin tjetër, x+y=0.

$$-\frac{1}{2}y+y=0$$

Mblidh -\frac{y}{2} me y.

$$\frac{1}{2}y=0$$

Shumëzo të dyja anët me 2.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në x=-\frac{1}{2}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x+2y-y=-x$$

Kombino 2y dhe -y për të marrë y.

$$x+y=-x$$

Shto x në të dyja anët.

$$x+y+x=0$$

Kombino x dhe x për të marrë 2x.

$$2x+y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+y=0,x+y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=0,y=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x+2y-y=-x$$

Kombino 2y dhe -y për të marrë y.

$$x+y=-x$$

Shto x në të dyja anët.

$$x+y+x=0$$

Kombino x dhe x për të marrë 2x.

$$2x+y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+y=0,x+y=0$$

Zbrit x+y=0 nga 2x+y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-x+y-y=0$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2x-x=0$$

Mblidh 2x me -x.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në x+y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=0$$