Zgjidh {l}{x+2y=1}{y=4x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \approx 1.222222222$$

$$y=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=-5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+2y=1$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-2y+1$$

Zëvendëso x me -2y+1 në ekuacionin tjetër, -4x+y=-5.

$$-4\left(-2y+1\right)+y=-5$$

Shumëzo -4 herë -2y+1.

$$8y-4+y=-5$$

Mblidh 8y me y.

$$9y-4=-5$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$9y=-1$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

Zëvendëso y me -\frac{1}{9} në x=-2y+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2\left(-\frac{1}{9}\right)+1$$

Shumëzo -2 herë -\frac{1}{9}.

$$x=\frac{2}{9}+1$$

Mblidh 1 me \frac{2}{9}.

$$x=\frac{11}{9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=-5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-2\left(-4\right)}&\frac{1}{1-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}-\frac{2}{9}\left(-5\right)\\\frac{4}{9}+\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{9}\\-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=-5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Për ta bërë x të barabartë me -4x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-4x-4\times 2y=-4,-4x+y=-5$$

Thjeshto.

$$-4x-8y=-4,-4x+y=-5$$

Zbrit -4x+y=-5 nga -4x-8y=-4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-4x+4x-8y-y=-4+5$$

Mblidh -4x me 4x. Shprehjet -4x dhe 4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-8y-y=-4+5$$

Mblidh -8y me -y.

$$-9y=-4+5$$

Mblidh -4 me 5.

$$-9y=1$$

Pjesëto të dyja anët me -9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

Zëvendëso y me -\frac{1}{9} në -4x+y=-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-4x-\frac{1}{9}=-5$$

Mblidh \frac{1}{9} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-4x=-\frac{44}{9}$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$x=\frac{11}{9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$