Zgjidh {l}{x+2y=-8}{y=-3/2x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = - 8 } \\ { y = - \frac { 3 } { 2 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=-5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{3}{2}x në të dyja anët.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+2y=-8$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-2y-8$$

Zëvendëso x me -2y-8 në ekuacionin tjetër, \frac{3}{2}x+y=-2.

$$\frac{3}{2}\left(-2y-8\right)+y=-2$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë -2y-8.

$$-3y-12+y=-2$$

Mblidh -3y me y.

$$-2y-12=-2$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2y=10$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=-5$$

Zëvendëso y me -5 në x=-2y-8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2\left(-5\right)-8$$

Shumëzo -2 herë -5.

$$x=10-8$$

Mblidh -8 me 10.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=-5$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{3}{2}x në të dyja anët.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}&-\frac{2}{1-2\times \frac{3}{2}}\\-\frac{\frac{3}{2}}{1-2\times \frac{3}{2}}&\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-8\right)-2\\\frac{3}{4}\left(-8\right)-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=-5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{3}{2}x në të dyja anët.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Për ta bërë x të barabartë me \frac{3x}{2}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me \frac{3}{2} dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\times 2y=\frac{3}{2}\left(-8\right),\frac{3}{2}x+y=-2$$

Thjeshto.

$$\frac{3}{2}x+3y=-12,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Zbrit \frac{3}{2}x+y=-2 nga \frac{3}{2}x+3y=-12 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}x+3y-y=-12+2$$

Mblidh \frac{3x}{2} me -\frac{3x}{2}. Shprehjet \frac{3x}{2} dhe -\frac{3x}{2} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3y-y=-12+2$$

Mblidh 3y me -y.

$$2y=-12+2$$

Mblidh -12 me 2.

$$2y=-10$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=-5$$

Zëvendëso y me -5 në \frac{3}{2}x+y=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$\frac{3}{2}x-5=-2$$

Mblidh 5 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{3}{2}x=3$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{3}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=-5$$