Zgjidh {l}{t+2s=-1}{s=t+10}

$$\left. \begin{array} { l } { t + 2 s = - 1 } \\ { s = t + 10 } \end{array} \right.$$

Gjej t, s

$$t=-7$$

$$s=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit t nga të dyja anët.

$$s-t=10$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej t duke veçuar t në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$t+2s=-1$$

Zbrit 2s nga të dyja anët e ekuacionit.

$$t=-2s-1$$

Zëvendëso t me -2s-1 në ekuacionin tjetër, -t+s=10.

$$-\left(-2s-1\right)+s=10$$

Shumëzo -1 herë -2s-1.

$$2s+1+s=10$$

Mblidh 2s me s.

$$3s+1=10$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3s=9$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$s=3$$

Zëvendëso s me 3 në t=-2s-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh t menjëherë.

$$t=-2\times 3-1$$

Shumëzo -2 herë 3.

$$t=-6-1$$

Mblidh -1 me -6.

$$t=-7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$t=-7,s=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit t nga të dyja anët.

$$s-t=10$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{2}{3}\times 10\\\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës t dhe s.

$$t=-7,s=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit t nga të dyja anët.

$$s-t=10$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

Për ta bërë t të barabartë me -t, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-t-2s=-\left(-1\right),-t+s=10$$

Thjeshto.

$$-t-2s=1,-t+s=10$$

Zbrit -t+s=10 nga -t-2s=1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-t+t-2s-s=1-10$$

Mblidh -t me t. Shprehjet -t dhe t thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2s-s=1-10$$

Mblidh -2s me -s.

$$-3s=1-10$$

Mblidh 1 me -10.

$$-3s=-9$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$s=3$$

Zëvendëso s me 3 në -t+s=10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh t menjëherë.

$$-t+3=10$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-t=7$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$t=-7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$t=-7,s=3$$