Zgjidh {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

Gjej x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Mblidh ny në të dyja anët e ekuacionit.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Pjesëto të dyja anët me m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Shumëzo \frac{1}{m} herë ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Zëvendëso x me \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} në ekuacionin tjetër, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Mblidh \frac{ny}{m} me y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Zbrit m+\frac{n^{2}}{m} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Pjesëto të dyja anët me \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

Zëvendëso y me m-n në x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Shumëzo \frac{n}{m} herë m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Mblidh m+\frac{n^{2}}{m} me \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=m+n,y=m-n$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=m+n,y=m-n$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Për ta bërë mx të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Thjeshto.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Zbrit mx+my=2m^{2} nga mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Mblidh mx me -mx. Shprehjet mx dhe -mx thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Mblidh -ny me -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Mblidh m^{2}+n^{2} me -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Pjesëto të dyja anët me -m-n.

$$y=m-n$$

Zëvendëso y me m-n në x+y=2m. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x+m-n=2m$$

Zbrit m-n nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=m+n$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=m+n,y=m-n$$

Gjej x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Mblidh ny në të dyja anët e ekuacionit.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Pjesëto të dyja anët me m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Shumëzo \frac{1}{m} herë ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Zëvendëso x me \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} në ekuacionin tjetër, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Mblidh \frac{ny}{m} me y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Zbrit m+\frac{n^{2}}{m} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Pjesëto të dyja anët me \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

Zëvendëso y me m-n në x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Shumëzo \frac{n}{m} herë m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Mblidh m+\frac{n^{2}}{m} me \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=m+n,y=m-n$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=m+n,y=m-n$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Për ta bërë mx të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Thjeshto.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Zbrit mx+my=2m^{2} nga mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Mblidh mx me -mx. Shprehjet mx dhe -mx thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Mblidh -ny me -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Mblidh m^{2}+n^{2} me -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Pjesëto të dyja anët me -m-n.

$$y=m-n$$

Zëvendëso y me m-n në x+y=2m. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x+m-n=2m$$

Zbrit m-n nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=m+n$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=m+n,y=m-n$$