Zgjidh {l}{g=2h}{g+4h=18}

$$\left. \begin{array} { l } { g = 2 h } \\ { g + 4 h = 18 } \end{array} \right.$$

Gjej g, h

$$g=6$$

$$h=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2h nga të dyja anët.

$$g-2h=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$g-2h=0,g+4h=18$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej g duke veçuar g në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$g-2h=0$$

Mblidh 2h në të dyja anët e ekuacionit.

$$g=2h$$

Zëvendëso g me 2h në ekuacionin tjetër, g+4h=18.

$$2h+4h=18$$

Mblidh 2h me 4h.

$$6h=18$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$h=3$$

Zëvendëso h me 3 në g=2h. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh g menjëherë.

$$g=2\times 3$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$g=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$g=6,h=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2h nga të dyja anët.

$$g-2h=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$g-2h=0,g+4h=18$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\18\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\18\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-2\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\18\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 18\\\frac{1}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës g dhe h.

$$g=6,h=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2h nga të dyja anët.

$$g-2h=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$g-2h=0,g+4h=18$$

Zbrit g+4h=18 nga g-2h=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$g-g-2h-4h=-18$$

Mblidh g me -g. Shprehjet g dhe -g thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2h-4h=-18$$

Mblidh -2h me -4h.

$$-6h=-18$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$h=3$$

Zëvendëso h me 3 në g+4h=18. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh g menjëherë.

$$g+4\times 3=18$$

Shumëzo 4 herë 3.

$$g+12=18$$

Zbrit 12 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$g=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$g=6,h=3$$