Zgjidh {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$fx-y=7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$fy-9x=8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$fx-y=7$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$fx=y+7$$

Pjesëto të dyja anët me f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Shumëzo \frac{1}{f} herë y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Zëvendëso x me \frac{7+y}{f} në ekuacionin tjetër, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Shumëzo -9 herë \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Mblidh -\frac{9y}{f} me fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Mblidh \frac{63}{f} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Pjesëto të dyja anët me f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Zëvendëso y me \frac{63+8f}{f^{2}-9} në x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Shumëzo \frac{1}{f} herë \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Mblidh \frac{7}{f} me \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$fx-y=7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$fy-9x=8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$fx-y=7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$fy-9x=8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Për ta bërë fx të barabartë me -9x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Thjeshto.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Zbrit \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f nga \left(-9f\right)x+9y=-63 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Mblidh -9fx me 9fx. Shprehjet -9fx dhe 9fx thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Mblidh 9y me -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Mblidh -63 me -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Pjesëto të dyja anët me -f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Zëvendëso y me -\frac{63+8f}{9-f^{2}} në -9x+fy=8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Shumëzo f herë -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Mblidh \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Pjesëto të dyja anët me -9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Gjej x, y

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$fx-y=7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$fy-9x=8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$fx-y=7$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$fx=y+7$$

Pjesëto të dyja anët me f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Shumëzo \frac{1}{f} herë y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Zëvendëso x me \frac{7+y}{f} në ekuacionin tjetër, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Shumëzo -9 herë \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Mblidh -\frac{9y}{f} me fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Mblidh \frac{63}{f} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Pjesëto të dyja anët me f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Zëvendëso y me \frac{63+8f}{f^{2}-9} në x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Shumëzo \frac{1}{f} herë \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Mblidh \frac{7}{f} me \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$fx-y=7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$fy-9x=8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$fx-y=7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$fy-9x=8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Për ta bërë fx të barabartë me -9x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Thjeshto.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Zbrit \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f nga \left(-9f\right)x+9y=-63 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Mblidh -9fx me 9fx. Shprehjet -9fx dhe 9fx thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Mblidh 9y me -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Mblidh -63 me -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Pjesëto të dyja anët me -f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Zëvendëso y me -\frac{63+8f}{9-f^{2}} në -9x+fy=8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Shumëzo f herë -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Mblidh \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Pjesëto të dyja anët me -9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$