Zgjidh {l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$12bx-15y=-4$$

Mblidh 15y në të dyja anët e ekuacionit.

$$12bx=15y-4$$

Pjesëto të dyja anët me 12b.

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

Shumëzo \frac{1}{12b} herë 15y-4.

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

Zëvendëso x me \frac{-4+15y}{12b} në ekuacionin tjetër, 16x+10y=7.

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

Shumëzo 16 herë \frac{-4+15y}{12b}.

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

Mblidh \frac{20y}{b} me 10y.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

Mblidh \frac{16}{3b} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

Pjesëto të dyja anët me \frac{20}{b}+10.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Zëvendëso y me \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} në x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

Shumëzo \frac{5}{4b} herë \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

Mblidh -\frac{1}{3b} me \frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Për ta bërë 12bx të barabartë me 16x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 16 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 12b.

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

Thjeshto.

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

Zbrit 192bx+120by=84b nga 192bx-240y=-64 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

Mblidh 192bx me -192bx. Shprehjet 192bx dhe -192bx thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

Mblidh -240y me -120by.

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

Mblidh -64 me -84b.

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

Pjesëto të dyja anët me -240-120b.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Zëvendëso y me \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} në 16x+10y=7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

Shumëzo 10 herë \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

Zbrit \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

Pjesëto të dyja anët me 16.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$