Zgjidh {l}{A=90800+0.15B}{B=23600+0.2A}

$$\left. \begin{array} { l } { A = 90800 + 0.15 B } \\ { B = 23600 + 0.2 A } \end{array} \right.$$

Gjej A, B

$$A = \frac{9434000}{97} = 97257\frac{71}{97} \approx 97257.731958763$$

$$B = \frac{4176000}{97} = 43051\frac{53}{97} \approx 43051.546391753$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 0.15B nga të dyja anët.

$$A-0.15B=90800$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 0.2A nga të dyja anët.

$$B-0.2A=23600$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej A duke veçuar A në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$A-0.15B=90800$$

Mblidh \frac{3B}{20} në të dyja anët e ekuacionit.

$$A=0.15B+90800$$

Zëvendëso A me \frac{3B}{20}+90800 në ekuacionin tjetër, -0.2A+B=23600.

$$-0.2\left(0.15B+90800\right)+B=23600$$

Shumëzo -0.2 herë \frac{3B}{20}+90800.

$$-0.03B-18160+B=23600$$

Mblidh -\frac{3B}{100} me B.

$$0.97B-18160=23600$$

Mblidh 18160 në të dyja anët e ekuacionit.

$$0.97B=41760$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me 0.97, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$B=\frac{4176000}{97}$$

Zëvendëso B me \frac{4176000}{97} në A=0.15B+90800. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh A menjëherë.

$$A=0.15\times \frac{4176000}{97}+90800$$

Shumëzo 0.15 herë \frac{4176000}{97} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$A=\frac{626400}{97}+90800$$

Mblidh 90800 me \frac{626400}{97}.

$$A=\frac{9434000}{97}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 0.15B nga të dyja anët.

$$A-0.15B=90800$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 0.2A nga të dyja anët.

$$B-0.2A=23600$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}&-\frac{-0.15}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}\\-\frac{-0.2}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{97}&\frac{15}{97}\\\frac{20}{97}&\frac{100}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{97}\times 90800+\frac{15}{97}\times 23600\\\frac{20}{97}\times 90800+\frac{100}{97}\times 23600\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9434000}{97}\\\frac{4176000}{97}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës A dhe B.

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 0.15B nga të dyja anët.

$$A-0.15B=90800$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 0.2A nga të dyja anët.

$$B-0.2A=23600$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

Për ta bërë A të barabartë me -\frac{A}{5}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -0.2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-0.2A-0.2\left(-0.15\right)B=-0.2\times 90800,-0.2A+B=23600$$

Thjeshto.

$$-0.2A+0.03B=-18160,-0.2A+B=23600$$

Zbrit -0.2A+B=23600 nga -0.2A+0.03B=-18160 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-0.2A+0.2A+0.03B-B=-18160-23600$$

Mblidh -\frac{A}{5} me \frac{A}{5}. Shprehjet -\frac{A}{5} dhe \frac{A}{5} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$0.03B-B=-18160-23600$$

Mblidh \frac{3B}{100} me -B.

$$-0.97B=-18160-23600$$

Mblidh -18160 me -23600.

$$-0.97B=-41760$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -0.97, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$B=\frac{4176000}{97}$$

Zëvendëso B me \frac{4176000}{97} në -0.2A+B=23600. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh A menjëherë.

$$-0.2A+\frac{4176000}{97}=23600$$

Zbrit \frac{4176000}{97} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-0.2A=-\frac{1886800}{97}$$

Shumëzo të dyja anët me -5.

$$A=\frac{9434000}{97}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$