Zgjidh {l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$80x+160y=4$$

Zbrit 160y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$80x=-160y+4$$

Pjesëto të dyja anët me 80.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

Shumëzo \frac{1}{80} herë -160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

Zëvendëso x me -2y+\frac{1}{20} në ekuacionin tjetër, 5600x+5600y=5536.

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

Shumëzo 5600 herë -2y+\frac{1}{20}.

$$-11200y+280+5600y=5536$$

Mblidh -11200y me 5600y.

$$-5600y+280=5536$$

Zbrit 280 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-5600y=5256$$

Pjesëto të dyja anët me -5600.

$$y=-\frac{657}{700}$$

Zëvendëso y me -\frac{657}{700} në x=-2y+\frac{1}{20}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

Shumëzo -2 herë -\frac{657}{700}.

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

Mblidh \frac{1}{20} me \frac{657}{350} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{1349}{700}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Për ta bërë 80x të barabartë me 5600x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5600 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 80.

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

Thjeshto.

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

Zbrit 448000x+448000y=442880 nga 448000x+896000y=22400 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

Mblidh 448000x me -448000x. Shprehjet 448000x dhe -448000x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$896000y-448000y=22400-442880$$

Mblidh 896000y me -448000y.

$$448000y=22400-442880$$

Mblidh 22400 me -442880.

$$448000y=-420480$$

Pjesëto të dyja anët me 448000.

$$y=-\frac{657}{700}$$

Zëvendëso y me -\frac{657}{700} në 5600x+5600y=5536. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

Shumëzo 5600 herë -\frac{657}{700}.

$$5600x-5256=5536$$

Mblidh 5256 në të dyja anët e ekuacionit.

$$5600x=10792$$

Pjesëto të dyja anët me 5600.

$$x=\frac{1349}{700}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$