Zgjidh {l}{8x-5y-3=0}{5*(y-3x)=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y - 3 = 0 } \\ { 5 \cdot ( y - 3 x ) = - 10 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 3 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$8x-5y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

Pjesëto -10 me 5 për të marrë -2.

$$y-3x=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$8x-5y=3$$

Mblidh 5y në të dyja anët e ekuacionit.

$$8x=5y+3$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+3\right)$$

Shumëzo \frac{1}{8} herë 5y+3.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}$$

Zëvendëso x me \frac{5y+3}{8} në ekuacionin tjetër, -3x+y=-2.

$$-3\left(\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}\right)+y=-2$$

Shumëzo -3 herë \frac{5y+3}{8}.

$$-\frac{15}{8}y-\frac{9}{8}+y=-2$$

Mblidh -\frac{15y}{8} me y.

$$-\frac{7}{8}y-\frac{9}{8}=-2$$

Mblidh \frac{9}{8} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{7}{8}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{7}{8}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{5+3}{8}$$

Mblidh \frac{3}{8} me \frac{5}{8} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 3 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$8x-5y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

Pjesëto -10 me 5 për të marrë -2.

$$y-3x=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{8}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3-\frac{5}{7}\left(-2\right)\\-\frac{3}{7}\times 3-\frac{8}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 3 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$8x-5y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

Pjesëto -10 me 5 për të marrë -2.

$$y-3x=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Për ta bërë 8x të barabartë me -3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 8.

$$-3\times 8x-3\left(-5\right)y=-3\times 3,8\left(-3\right)x+8y=8\left(-2\right)$$

Thjeshto.

$$-24x+15y=-9,-24x+8y=-16$$

Zbrit -24x+8y=-16 nga -24x+15y=-9 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-24x+24x+15y-8y=-9+16$$

Mblidh -24x me 24x. Shprehjet -24x dhe 24x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$15y-8y=-9+16$$

Mblidh 15y me -8y.

$$7y=-9+16$$

Mblidh -9 me 16.

$$7y=7$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në -3x+y=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-3x+1=-2$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-3x=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=1$$