Zgjidh {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$8+4x-2y=0$$

Zbrit 8 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$4x-2y=-8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3y në të dyja anët.

$$-4x+3y=14$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4x-2y=-8$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=2y-8$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

Zëvendëso x me \frac{y}{2}-2 në ekuacionin tjetër, -4x+3y=14.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

Shumëzo -4 herë \frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

Mblidh -2y me 3y.

$$y+8=14$$

Zbrit 8 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=6$$

Zëvendëso y me 6 në x=\frac{1}{2}y-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 6.

$$x=3-2$$

Mblidh -2 me 3.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=6$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$8+4x-2y=0$$

Zbrit 8 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$4x-2y=-8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3y në të dyja anët.

$$-4x+3y=14$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=6$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$8+4x-2y=0$$

Zbrit 8 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$4x-2y=-8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3y në të dyja anët.

$$-4x+3y=14$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Për ta bërë 4x të barabartë me -4x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

Thjeshto.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

Zbrit -16x+12y=56 nga -16x+8y=32 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

Mblidh -16x me 16x. Shprehjet -16x dhe 16x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$8y-12y=32-56$$

Mblidh 8y me -12y.

$$-4y=32-56$$

Mblidh 32 me -56.

$$-4y=-24$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$y=6$$

Zëvendëso y me 6 në -4x+3y=14. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-4x+3\times 6=14$$

Shumëzo 3 herë 6.

$$-4x+18=14$$

Zbrit 18 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-4x=-4$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=6$$