Zgjidh {l}{73x-7y=66}{18x+98y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 73 x - 7 y = 66 } \\ { 18 x + 98 y = 25 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{73}{80}=0.9125$$

$$y=\frac{7}{80}=0.0875$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$73x-7y=66$$

Mblidh 7y në të dyja anët e ekuacionit.

$$73x=7y+66$$

Pjesëto të dyja anët me 73.

$$x=\frac{1}{73}\left(7y+66\right)$$

Shumëzo \frac{1}{73} herë 7y+66.

$$x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}$$

Zëvendëso x me \frac{7y+66}{73} në ekuacionin tjetër, 18x+98y=25.

$$18\left(\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}\right)+98y=25$$

Shumëzo 18 herë \frac{7y+66}{73}.

$$\frac{126}{73}y+\frac{1188}{73}+98y=25$$

Mblidh \frac{126y}{73} me 98y.

$$\frac{7280}{73}y+\frac{1188}{73}=25$$

Zbrit \frac{1188}{73} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{7280}{73}y=\frac{637}{73}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{7280}{73}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{7}{80}$$

Zëvendëso y me \frac{7}{80} në x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{7}{73}\times \frac{7}{80}+\frac{66}{73}$$

Shumëzo \frac{7}{73} herë \frac{7}{80} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{49}{5840}+\frac{66}{73}$$

Mblidh \frac{66}{73} me \frac{49}{5840} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{73}{80}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{98}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&-\frac{-7}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\\-\frac{18}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&\frac{73}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}&\frac{1}{1040}\\-\frac{9}{3640}&\frac{73}{7280}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}\times 66+\frac{1}{1040}\times 25\\-\frac{9}{3640}\times 66+\frac{73}{7280}\times 25\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{80}\\\frac{7}{80}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Për ta bërë 73x të barabartë me 18x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 18 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 73.

$$18\times 73x+18\left(-7\right)y=18\times 66,73\times 18x+73\times 98y=73\times 25$$

Thjeshto.

$$1314x-126y=1188,1314x+7154y=1825$$

Zbrit 1314x+7154y=1825 nga 1314x-126y=1188 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$1314x-1314x-126y-7154y=1188-1825$$

Mblidh 1314x me -1314x. Shprehjet 1314x dhe -1314x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-126y-7154y=1188-1825$$

Mblidh -126y me -7154y.

$$-7280y=1188-1825$$

Mblidh 1188 me -1825.

$$-7280y=-637$$

Pjesëto të dyja anët me -7280.

$$y=\frac{7}{80}$$

Zëvendëso y me \frac{7}{80} në 18x+98y=25. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$18x+98\times \frac{7}{80}=25$$

Shumëzo 98 herë \frac{7}{80}.

$$18x+\frac{343}{40}=25$$

Zbrit \frac{343}{40} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$18x=\frac{657}{40}$$

Pjesëto të dyja anët me 18.

$$x=\frac{73}{80}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$