Zgjidh {l}{7x=y+39}{11x=y-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y + 39 } \\ { 11 x = y - 9 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-12$$

$$y=-123$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$7x-y=39$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$11x-y=-9$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$7x-y=39$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$7x=y+39$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y+39\right)$$

Shumëzo \frac{1}{7} herë y+39.

$$x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}$$

Zëvendëso x me \frac{39+y}{7} në ekuacionin tjetër, 11x-y=-9.

$$11\left(\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}\right)-y=-9$$

Shumëzo 11 herë \frac{39+y}{7}.

$$\frac{11}{7}y+\frac{429}{7}-y=-9$$

Mblidh \frac{11y}{7} me -y.

$$\frac{4}{7}y+\frac{429}{7}=-9$$

Zbrit \frac{429}{7} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{4}{7}y=-\frac{492}{7}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{4}{7}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-123$$

Zëvendëso y me -123 në x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{7}\left(-123\right)+\frac{39}{7}$$

Shumëzo \frac{1}{7} herë -123.

$$x=\frac{-123+39}{7}$$

Mblidh \frac{39}{7} me -\frac{123}{7} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-12$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-12,y=-123$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$7x-y=39$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$11x-y=-9$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 39+\frac{1}{4}\left(-9\right)\\-\frac{11}{4}\times 39+\frac{7}{4}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-123\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-12,y=-123$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$7x-y=39$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$11x-y=-9$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Zbrit 11x-y=-9 nga 7x-y=39 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$7x-11x-y+y=39+9$$

Mblidh -y me y. Shprehjet -y dhe y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$7x-11x=39+9$$

Mblidh 7x me -11x.

$$-4x=39+9$$

Mblidh 39 me 9.

$$-4x=48$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$x=-12$$

Zëvendëso x me -12 në 11x-y=-9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$11\left(-12\right)-y=-9$$

Shumëzo 11 herë -12.

$$-132-y=-9$$

Mblidh 132 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=123$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=-123$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-12,y=-123$$