Zgjidh {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

Gjej w, z

$$z=1$$

$$w=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2z nga të dyja anët.

$$5w-2z=8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej w duke veçuar w në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$7w+2z=16$$

Zbrit 2z nga të dyja anët e ekuacionit.

$$7w=-2z+16$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

Shumëzo \frac{1}{7} herë -2z+16.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

Zëvendëso w me \frac{-2z+16}{7} në ekuacionin tjetër, 5w-2z=8.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

Shumëzo 5 herë \frac{-2z+16}{7}.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

Mblidh -\frac{10z}{7} me -2z.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

Zbrit \frac{80}{7} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{24}{7}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$z=1$$

Zëvendëso z me 1 në w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh w menjëherë.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

Mblidh \frac{16}{7} me -\frac{2}{7} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$w=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$w=2,z=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2z nga të dyja anët.

$$5w-2z=8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës w dhe z.

$$w=2,z=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2z nga të dyja anët.

$$5w-2z=8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Për ta bërë 7w të barabartë me 5w, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 7.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

Thjeshto.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

Zbrit 35w-14z=56 nga 35w+10z=80 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

Mblidh 35w me -35w. Shprehjet 35w dhe -35w thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$10z+14z=80-56$$

Mblidh 10z me 14z.

$$24z=80-56$$

Mblidh 80 me -56.

$$24z=24$$

Pjesëto të dyja anët me 24.

$$z=1$$

Zëvendëso z me 1 në 5w-2z=8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh w menjëherë.

$$5w-2=8$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$5w=10$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$w=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$w=2,z=1$$