Zgjidh {l}{62x+y=44}{34x-y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$62x+y=44$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$62x=-y+44$$

Pjesëto të dyja anët me 62.

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

Shumëzo \frac{1}{62} herë -y+44.

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{62}+\frac{22}{31} në ekuacionin tjetër, 34x-y=36.

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

Shumëzo 34 herë -\frac{y}{62}+\frac{22}{31}.

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

Mblidh -\frac{17y}{31} me -y.

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

Zbrit \frac{748}{31} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{48}{31}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{23}{3}$$

Zëvendëso y me -\frac{23}{3} në x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

Shumëzo -\frac{1}{62} herë -\frac{23}{3} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

Mblidh \frac{22}{31} me \frac{23}{186} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{5}{6}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Për ta bërë 62x të barabartë me 34x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 34 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 62.

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

Thjeshto.

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

Zbrit 2108x-62y=2232 nga 2108x+34y=1496 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

Mblidh 2108x me -2108x. Shprehjet 2108x dhe -2108x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$34y+62y=1496-2232$$

Mblidh 34y me 62y.

$$96y=1496-2232$$

Mblidh 1496 me -2232.

$$96y=-736$$

Pjesëto të dyja anët me 96.

$$y=-\frac{23}{3}$$

Zëvendëso y me -\frac{23}{3} në 34x-y=36. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

Zbrit \frac{23}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$34x=\frac{85}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me 34.

$$x=\frac{5}{6}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$