Zgjidh {l}{6x+5y=5600}{55x+46y=51400}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 5600 } \\ { 55 x + 46 y = 51400 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=600$$

$$y=400$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$6x+5y=5600$$

Zbrit 5y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=-5y+5600$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+5600\right)$$

Shumëzo \frac{1}{6} herë -5y+5600.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Zëvendëso x me -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} në ekuacionin tjetër, 55x+46y=51400.

$$55\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+46y=51400$$

Shumëzo 55 herë -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{275}{6}y+\frac{154000}{3}+46y=51400$$

Mblidh -\frac{275y}{6} me 46y.

$$\frac{1}{6}y+\frac{154000}{3}=51400$$

Zbrit \frac{154000}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{6}y=\frac{200}{3}$$

Shumëzo të dyja anët me 6.

$$y=400$$

Zëvendëso y me 400 në x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{5}{6}\times 400+\frac{2800}{3}$$

Shumëzo -\frac{5}{6} herë 400.

$$x=\frac{-1000+2800}{3}$$

Mblidh \frac{2800}{3} me -\frac{1000}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=600$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=600,y=400$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{6\times 46-5\times 55}&-\frac{5}{6\times 46-5\times 55}\\-\frac{55}{6\times 46-5\times 55}&\frac{6}{6\times 46-5\times 55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46&-5\\-55&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\times 5600-5\times 51400\\-55\times 5600+6\times 51400\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\400\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=600,y=400$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Për ta bërë 6x të barabartë me 55x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 55 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 6.

$$55\times 6x+55\times 5y=55\times 5600,6\times 55x+6\times 46y=6\times 51400$$

Thjeshto.

$$330x+275y=308000,330x+276y=308400$$

Zbrit 330x+276y=308400 nga 330x+275y=308000 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$330x-330x+275y-276y=308000-308400$$

Mblidh 330x me -330x. Shprehjet 330x dhe -330x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$275y-276y=308000-308400$$

Mblidh 275y me -276y.

$$-y=308000-308400$$

Mblidh 308000 me -308400.

$$-y=-400$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=400$$

Zëvendëso y me 400 në 55x+46y=51400. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$55x+46\times 400=51400$$

Shumëzo 46 herë 400.

$$55x+18400=51400$$

Zbrit 18400 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$55x=33000$$

Pjesëto të dyja anët me 55.

$$x=600$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=600,y=400$$