Zgjidh {l}{500y+150.25x=0}{2990y+225.75x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 500 y + 150.25 x = 0 } \\ { 2990 y + 225.75 x = 0 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=0$$

$$y=0$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$500y+150.25x=0,2990y+225.75x=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$500y+150.25x=0$$

Zbrit \frac{601x}{4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$500y=-150.25x$$

Pjesëto të dyja anët me 500.

$$y=\frac{1}{500}\left(-150.25\right)x$$

Shumëzo \frac{1}{500} herë -\frac{601x}{4}.

$$y=-\frac{601}{2000}x$$

Zëvendëso y me -\frac{601x}{2000} në ekuacionin tjetër, 2990y+225.75x=0.

$$2990\left(-\frac{601}{2000}\right)x+225.75x=0$$

Shumëzo 2990 herë -\frac{601x}{2000}.

$$-\frac{179699}{200}x+225.75x=0$$

Mblidh -\frac{179699x}{200} me \frac{903x}{4}.

$$-\frac{134549}{200}x=0$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{134549}{200}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në y=-\frac{601}{2000}x. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=0,x=0$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$500y+150.25x=0,2990y+225.75x=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{225.75}{500\times 225.75-150.25\times 2990}&-\frac{150.25}{500\times 225.75-150.25\times 2990}\\-\frac{2990}{500\times 225.75-150.25\times 2990}&\frac{500}{500\times 225.75-150.25\times 2990}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{903}{1345490}&\frac{601}{1345490}\\\frac{1196}{134549}&-\frac{200}{134549}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=0,x=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$500y+150.25x=0,2990y+225.75x=0$$

Për ta bërë 500y të barabartë me 2990y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2990 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 500.

$$2990\times 500y+2990\times 150.25x=0,500\times 2990y+500\times 225.75x=0$$

Thjeshto.

$$1495000y+449247.5x=0,1495000y+112875x=0$$

Zbrit 1495000y+112875x=0 nga 1495000y+449247.5x=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$1495000y-1495000y+449247.5x-112875x=0$$

Mblidh 1495000y me -1495000y. Shprehjet 1495000y dhe -1495000y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$449247.5x-112875x=0$$

Mblidh \frac{898495x}{2} me -112875x.

$$336372.5x=0$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me 336372.5, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në 2990y+225.75x=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$2990y=0$$

Pjesëto të dyja anët me 2990.

$$y=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=0,x=0$$