Zgjidh {l}{5x-y=3}{-2x+4y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 3 } \\ { - 2 x + 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3.666666667$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-y=3$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=y+3$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+3\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë y+3.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{3+y}{5} në ekuacionin tjetër, -2x+4y=12.

$$-2\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)+4y=12$$

Shumëzo -2 herë \frac{3+y}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}+4y=12$$

Mblidh -\frac{2y}{5} me 4y.

$$\frac{18}{5}y-\frac{6}{5}=12$$

Mblidh \frac{6}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{18}{5}y=\frac{66}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{18}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{11}{3}$$

Zëvendëso y me \frac{11}{3} në x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{11}{3}+\frac{3}{5}$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë \frac{11}{3} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{3}{5}$$

Mblidh \frac{3}{5} me \frac{11}{15} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{18}\times 12\\\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{18}\times 12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Për ta bërë 5x të barabartë me -2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 3,5\left(-2\right)x+5\times 4y=5\times 12$$

Thjeshto.

$$-10x+2y=-6,-10x+20y=60$$

Zbrit -10x+20y=60 nga -10x+2y=-6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-10x+10x+2y-20y=-6-60$$

Mblidh -10x me 10x. Shprehjet -10x dhe 10x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2y-20y=-6-60$$

Mblidh 2y me -20y.

$$-18y=-6-60$$

Mblidh -6 me -60.

$$-18y=-66$$

Pjesëto të dyja anët me -18.

$$y=\frac{11}{3}$$

Zëvendëso y me \frac{11}{3} në -2x+4y=12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-2x+4\times \frac{11}{3}=12$$

Shumëzo 4 herë \frac{11}{3}.

$$-2x+\frac{44}{3}=12$$

Zbrit \frac{44}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=-\frac{8}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$