Zgjidh {l}{5x-8=y}{3x+2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 = y } \\ { 3 x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y = -\frac{14}{13} = -1\frac{1}{13} \approx -1.076923077$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$5x-8-y=0$$

Shto 8 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$5x-y=8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-y=8$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=y+8$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{8+y}{5} në ekuacionin tjetër, 3x+2y=2.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=2$$

Shumëzo 3 herë \frac{8+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{24}{5}+2y=2$$

Mblidh \frac{3y}{5} me 2y.

$$\frac{13}{5}y+\frac{24}{5}=2$$

Zbrit \frac{24}{5} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{13}{5}y=-\frac{14}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{13}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{14}{13}$$

Zëvendëso y me -\frac{14}{13} në x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{14}{13}\right)+\frac{8}{5}$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë -\frac{14}{13} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{14}{65}+\frac{8}{5}$$

Mblidh \frac{8}{5} me -\frac{14}{65} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{18}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$5x-8-y=0$$

Shto 8 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$5x-y=8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8+\frac{1}{13}\times 2\\-\frac{3}{13}\times 8+\frac{5}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\-\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$5x-8-y=0$$

Shto 8 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$5x-y=8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Për ta bërë 5x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 2$$

Thjeshto.

$$15x-3y=24,15x+10y=10$$

Zbrit 15x+10y=10 nga 15x-3y=24 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$15x-15x-3y-10y=24-10$$

Mblidh 15x me -15x. Shprehjet 15x dhe -15x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-3y-10y=24-10$$

Mblidh -3y me -10y.

$$-13y=24-10$$

Mblidh 24 me -10.

$$-13y=14$$

Pjesëto të dyja anët me -13.

$$y=-\frac{14}{13}$$

Zëvendëso y me -\frac{14}{13} në 3x+2y=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x+2\left(-\frac{14}{13}\right)=2$$

Shumëzo 2 herë -\frac{14}{13}.

$$3x-\frac{28}{13}=2$$

Mblidh \frac{28}{13} në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=\frac{54}{13}$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{18}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$