Zgjidh {l}{5x=7z}{8x=9z}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 7 z } \\ { 8 x = 9 z } \end{array} \right.$$

Gjej x, z

$$x=0$$

$$z=0$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7z nga të dyja anët.

$$5x-7z=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 9z nga të dyja anët.

$$8x-9z=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-7z=0$$

Mblidh 7z në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=7z$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\times 7z$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë 7z.

$$x=\frac{7}{5}z$$

Zëvendëso x me \frac{7z}{5} në ekuacionin tjetër, 8x-9z=0.

$$8\times \frac{7}{5}z-9z=0$$

Shumëzo 8 herë \frac{7z}{5}.

$$\frac{56}{5}z-9z=0$$

Mblidh \frac{56z}{5} me -9z.

$$\frac{11}{5}z=0$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{11}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$z=0$$

Zëvendëso z me 0 në x=\frac{7}{5}z. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,z=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7z nga të dyja anët.

$$5x-7z=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 9z nga të dyja anët.

$$8x-9z=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&-\frac{-7}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\\-\frac{8}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&\frac{5}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{11}&\frac{7}{11}\\-\frac{8}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe z.

$$x=0,z=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7z nga të dyja anët.

$$5x-7z=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 9z nga të dyja anët.

$$8x-9z=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Për ta bërë 5x të barabartë me 8x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 8 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$8\times 5x+8\left(-7\right)z=0,5\times 8x+5\left(-9\right)z=0$$

Thjeshto.

$$40x-56z=0,40x-45z=0$$

Zbrit 40x-45z=0 nga 40x-56z=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$40x-40x-56z+45z=0$$

Mblidh 40x me -40x. Shprehjet 40x dhe -40x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-56z+45z=0$$

Mblidh -56z me 45z.

$$-11z=0$$

Pjesëto të dyja anët me -11.

$$z=0$$

Zëvendëso z me 0 në 8x-9z=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$8x=0$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,z=0$$