Zgjidh {l}{5x=4y-2}{5y+1=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 4 y - 2 } \\ { 5 y + 1 = x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$5x-4y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$5y+1-x=0$$

Zbrit 1 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$5y-x=-1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-4y=-2$$

Mblidh 4y në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=4y-2$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-2\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë 4y-2.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{4y-2}{5} në ekuacionin tjetër, -x+5y=-1.

$$-\left(\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}\right)+5y=-1$$

Shumëzo -1 herë \frac{4y-2}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{2}{5}+5y=-1$$

Mblidh -\frac{4y}{5} me 5y.

$$\frac{21}{5}y+\frac{2}{5}=-1$$

Zbrit \frac{2}{5} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{21}{5}y=-\frac{7}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{21}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Zëvendëso y me -\frac{1}{3} në x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{5}$$

Shumëzo \frac{4}{5} herë -\frac{1}{3} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{4}{15}-\frac{2}{5}$$

Mblidh -\frac{2}{5} me -\frac{4}{15} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$5x-4y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$5y+1-x=0$$

Zbrit 1 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$5y-x=-1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{4}{21}\\\frac{1}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-2\right)+\frac{4}{21}\left(-1\right)\\\frac{1}{21}\left(-2\right)+\frac{5}{21}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$5x-4y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$5y+1-x=0$$

Zbrit 1 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$5y-x=-1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

Për ta bërë 5x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$-5x-\left(-4y\right)=-\left(-2\right),5\left(-1\right)x+5\times 5y=5\left(-1\right)$$

Thjeshto.

$$-5x+4y=2,-5x+25y=-5$$

Zbrit -5x+25y=-5 nga -5x+4y=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-5x+5x+4y-25y=2+5$$

Mblidh -5x me 5x. Shprehjet -5x dhe 5x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$4y-25y=2+5$$

Mblidh 4y me -25y.

$$-21y=2+5$$

Mblidh 2 me 5.

$$-21y=7$$

Pjesëto të dyja anët me -21.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Zëvendëso y me -\frac{1}{3} në -x+5y=-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$$

Shumëzo 5 herë -\frac{1}{3}.

$$-x-\frac{5}{3}=-1$$

Mblidh \frac{5}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=\frac{2}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$