Zgjidh {l}{5x=4y}{2x+1y=52}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 4 y } \\ { 2 x + 1 y = 52 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=16$$

$$y=20$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$5x-4y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Rirendit kufizat.

$$2x+y=52$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-4y=0,2x+y=52$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-4y=0$$

Mblidh 4y në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=4y$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\times 4y$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë 4y.

$$x=\frac{4}{5}y$$

Zëvendëso x me \frac{4y}{5} në ekuacionin tjetër, 2x+y=52.

$$2\times \frac{4}{5}y+y=52$$

Shumëzo 2 herë \frac{4y}{5}.

$$\frac{8}{5}y+y=52$$

Mblidh \frac{8y}{5} me y.

$$\frac{13}{5}y=52$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{13}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=20$$

Zëvendëso y me 20 në x=\frac{4}{5}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{4}{5}\times 20$$

Shumëzo \frac{4}{5} herë 20.

$$x=16$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=16,y=20$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$5x-4y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Rirendit kufizat.

$$2x+y=52$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-4y=0,2x+y=52$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{5-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-4\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 52\\\frac{5}{13}\times 52\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=16,y=20$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$5x-4y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Rirendit kufizat.

$$2x+y=52$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-4y=0,2x+y=52$$

Për ta bërë 5x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$2\times 5x+2\left(-4\right)y=0,5\times 2x+5y=5\times 52$$

Thjeshto.

$$10x-8y=0,10x+5y=260$$

Zbrit 10x+5y=260 nga 10x-8y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$10x-10x-8y-5y=-260$$

Mblidh 10x me -10x. Shprehjet 10x dhe -10x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-8y-5y=-260$$

Mblidh -8y me -5y.

$$-13y=-260$$

Pjesëto të dyja anët me -13.

$$y=20$$

Zëvendëso y me 20 në 2x+y=52. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x+20=52$$

Zbrit 20 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=32$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=16$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=16,y=20$$