Zgjidh {l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$5x-2y=16$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2y në të dyja anët.

$$7x+2y=32$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-2y=16$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=2y+16$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë 16+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{16+2y}{5} në ekuacionin tjetër, 7x+2y=32.

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

Shumëzo 7 herë \frac{16+2y}{5}.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

Mblidh \frac{14y}{5} me 2y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

Zbrit \frac{112}{5} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{24}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

Shumëzo \frac{2}{5} herë 2.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

Mblidh \frac{16}{5} me \frac{4}{5} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$5x-2y=16$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2y në të dyja anët.

$$7x+2y=32$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$5x-2y=16$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2y në të dyja anët.

$$7x+2y=32$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Për ta bërë 5x të barabartë me 7x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 7 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

Thjeshto.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

Zbrit 35x+10y=160 nga 35x-14y=112 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

Mblidh 35x me -35x. Shprehjet 35x dhe -35x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-14y-10y=112-160$$

Mblidh -14y me -10y.

$$-24y=112-160$$

Mblidh 112 me -160.

$$-24y=-48$$

Pjesëto të dyja anët me -24.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në 7x+2y=32. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$7x+2\times 2=32$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$7x+4=32$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$7x=28$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=2$$