Zgjidh {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x+y=9$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=-y+9$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{-y+9}{5} në ekuacionin tjetër, 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

Shumëzo 10 herë \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

Mblidh -2y me -7y.

$$-9y+18=-18$$

Zbrit 18 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-9y=-36$$

Pjesëto të dyja anët me -9.

$$y=4$$

Zëvendëso y me 4 në x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

Shumëzo -\frac{1}{5} herë 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Mblidh \frac{9}{5} me -\frac{4}{5} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=4$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Për ta bërë 5x të barabartë me 10x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 10 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Thjeshto.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

Zbrit 50x-35y=-90 nga 50x+10y=90 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

Mblidh 50x me -50x. Shprehjet 50x dhe -50x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$10y+35y=90+90$$

Mblidh 10y me 35y.

$$45y=90+90$$

Mblidh 90 me 90.

$$45y=180$$

Pjesëto të dyja anët me 45.

$$y=4$$

Zëvendëso y me 4 në 10x-7y=-18. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$10x-7\times 4=-18$$

Shumëzo -7 herë 4.

$$10x-28=-18$$

Mblidh 28 në të dyja anët e ekuacionit.

$$10x=10$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=4$$