Zgjidh {l}{5x+3y=7}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

$$y = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x+3y=7$$

Zbrit 3y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=-3y+7$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë -3y+7.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{-3y+7}{5} në ekuacionin tjetër, -2x+y=1.

$$-2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+y=1$$

Shumëzo -2 herë \frac{-3y+7}{5}.

$$\frac{6}{5}y-\frac{14}{5}+y=1$$

Mblidh \frac{6y}{5} me y.

$$\frac{11}{5}y-\frac{14}{5}=1$$

Mblidh \frac{14}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{11}{5}y=\frac{19}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{11}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{19}{11}$$

Zëvendëso y me \frac{19}{11} në x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{19}{11}+\frac{7}{5}$$

Shumëzo -\frac{3}{5} herë \frac{19}{11} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{57}{55}+\frac{7}{5}$$

Mblidh \frac{7}{5} me -\frac{57}{55} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{4}{11}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-3\left(-2\right)}&\frac{5}{5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}\times 7+\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\\\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Për ta bërë 5x të barabartë me -2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$-2\times 5x-2\times 3y=-2\times 7,5\left(-2\right)x+5y=5$$

Thjeshto.

$$-10x-6y=-14,-10x+5y=5$$

Zbrit -10x+5y=5 nga -10x-6y=-14 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-10x+10x-6y-5y=-14-5$$

Mblidh -10x me 10x. Shprehjet -10x dhe 10x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-6y-5y=-14-5$$

Mblidh -6y me -5y.

$$-11y=-14-5$$

Mblidh -14 me -5.

$$-11y=-19$$

Pjesëto të dyja anët me -11.

$$y=\frac{19}{11}$$

Zëvendëso y me \frac{19}{11} në -2x+y=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-2x+\frac{19}{11}=1$$

Zbrit \frac{19}{11} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=-\frac{8}{11}$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=\frac{4}{11}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$