Zgjidh {l}{5x+3y=5}{xquad=1-y/7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 5 } \\ { x \quad = 1 - \frac { y } { 7 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=0$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{y}{7} në të dyja anët.

$$x+\frac{y}{7}=1$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 7.

$$7x+y=7$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x+3y=5,7x+y=7$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x+3y=5$$

Zbrit 3y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=-3y+5$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+5\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë -3y+5.

$$x=-\frac{3}{5}y+1$$

Zëvendëso x me -\frac{3y}{5}+1 në ekuacionin tjetër, 7x+y=7.

$$7\left(-\frac{3}{5}y+1\right)+y=7$$

Shumëzo 7 herë -\frac{3y}{5}+1.

$$-\frac{21}{5}y+7+y=7$$

Mblidh -\frac{21y}{5} me y.

$$-\frac{16}{5}y+7=7$$

Zbrit 7 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{16}{5}y=0$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{16}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në x=-\frac{3}{5}y+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{y}{7} në të dyja anët.

$$x+\frac{y}{7}=1$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 7.

$$7x+y=7$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x+3y=5,7x+y=7$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\times 7}&-\frac{3}{5-3\times 7}\\-\frac{7}{5-3\times 7}&\frac{5}{5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{7}{16}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}\times 5+\frac{3}{16}\times 7\\\frac{7}{16}\times 5-\frac{5}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{y}{7} në të dyja anët.

$$x+\frac{y}{7}=1$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 7.

$$7x+y=7$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x+3y=5,7x+y=7$$

Për ta bërë 5x të barabartë me 7x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 7 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$7\times 5x+7\times 3y=7\times 5,5\times 7x+5y=5\times 7$$

Thjeshto.

$$35x+21y=35,35x+5y=35$$

Zbrit 35x+5y=35 nga 35x+21y=35 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$35x-35x+21y-5y=35-35$$

Mblidh 35x me -35x. Shprehjet 35x dhe -35x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$21y-5y=35-35$$

Mblidh 21y me -5y.

$$16y=35-35$$

Mblidh 35 me -35.

$$16y=0$$

Pjesëto të dyja anët me 16.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në 7x+y=7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$7x=7$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=0$$