Zgjidh {l}{5a+3b=5}{4a+7b=27}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 a + 3 b = 5 } \\ { 4 a + 7 b = 27 } \end{array} \right.$$

Gjej a, b

$$a=-2$$

$$b=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5a+3b=5,4a+7b=27$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej a duke veçuar a në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5a+3b=5$$

Zbrit 3b nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5a=-3b+5$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$a=\frac{1}{5}\left(-3b+5\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë -3b+5.

$$a=-\frac{3}{5}b+1$$

Zëvendëso a me -\frac{3b}{5}+1 në ekuacionin tjetër, 4a+7b=27.

$$4\left(-\frac{3}{5}b+1\right)+7b=27$$

Shumëzo 4 herë -\frac{3b}{5}+1.

$$-\frac{12}{5}b+4+7b=27$$

Mblidh -\frac{12b}{5} me 7b.

$$\frac{23}{5}b+4=27$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{23}{5}b=23$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{23}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$b=5$$

Zëvendëso b me 5 në a=-\frac{3}{5}b+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$a=-\frac{3}{5}\times 5+1$$

Shumëzo -\frac{3}{5} herë 5.

$$a=-3+1$$

Mblidh 1 me -3.

$$a=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=-2,b=5$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5a+3b=5,4a+7b=27$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 4}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 4}\\-\frac{4}{5\times 7-3\times 4}&\frac{5}{5\times 7-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 5-\frac{3}{23}\times 27\\-\frac{4}{23}\times 5+\frac{5}{23}\times 27\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës a dhe b.

$$a=-2,b=5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5a+3b=5,4a+7b=27$$

Për ta bërë 5a të barabartë me 4a, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$4\times 5a+4\times 3b=4\times 5,5\times 4a+5\times 7b=5\times 27$$

Thjeshto.

$$20a+12b=20,20a+35b=135$$

Zbrit 20a+35b=135 nga 20a+12b=20 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$20a-20a+12b-35b=20-135$$

Mblidh 20a me -20a. Shprehjet 20a dhe -20a thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$12b-35b=20-135$$

Mblidh 12b me -35b.

$$-23b=20-135$$

Mblidh 20 me -135.

$$-23b=-115$$

Pjesëto të dyja anët me -23.

$$b=5$$

Zëvendëso b me 5 në 4a+7b=27. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$4a+7\times 5=27$$

Shumëzo 7 herë 5.

$$4a+35=27$$

Zbrit 35 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4a=-8$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$a=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=-2,b=5$$