Zgjidh {l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-2$$

$$y=0$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me x+2.

$$5x+10=4y$$

Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$5x+10-4y=0$$

Zbrit 10 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$5x-4y=-10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y-4.

$$3y-12=6x$$

Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$3y-12-6x=0$$

Shto 12 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3y-6x=12$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-4y=-10$$

Mblidh 4y në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=4y-10$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë 4y-10.

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

Zëvendëso x me \frac{4y}{5}-2 në ekuacionin tjetër, -6x+3y=12.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

Shumëzo -6 herë \frac{4y}{5}-2.

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

Mblidh -\frac{24y}{5} me 3y.

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

Zbrit 12 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{9}{5}y=0$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{9}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në x=\frac{4}{5}y-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-2,y=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me x+2.

$$5x+10=4y$$

Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$5x+10-4y=0$$

Zbrit 10 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$5x-4y=-10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y-4.

$$3y-12=6x$$

Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$3y-12-6x=0$$

Shto 12 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3y-6x=12$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-2,y=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me x+2.

$$5x+10=4y$$

Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$5x+10-4y=0$$

Zbrit 10 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$5x-4y=-10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y-4.

$$3y-12=6x$$

Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$3y-12-6x=0$$

Shto 12 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3y-6x=12$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Për ta bërë 5x të barabartë me -6x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -6 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

Thjeshto.

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

Zbrit -30x+15y=60 nga -30x+24y=60 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

Mblidh -30x me 30x. Shprehjet -30x dhe 30x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$24y-15y=60-60$$

Mblidh 24y me -15y.

$$9y=60-60$$

Mblidh 60 me -60.

$$9y=0$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në -6x+3y=12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-6x=12$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$x=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-2,y=0$$