Zgjidh {l}{45+.25x=y}{35+.30x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 45 + .25 x = y } \\ { 35 + .30 x = y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=200$$

$$y=95$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$45+0.25x-y=0$$

Zbrit 45 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$0.25x-y=-45$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$35+0.3x-y=0$$

Zbrit 35 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$0.3x-y=-35$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$0.25x-y=-45$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$0.25x=y-45$$

Shumëzo të dyja anët me 4.

$$x=4\left(y-45\right)$$

Shumëzo 4 herë y-45.

$$x=4y-180$$

Zëvendëso x me -180+4y në ekuacionin tjetër, 0.3x-y=-35.

$$0.3\left(4y-180\right)-y=-35$$

Shumëzo 0.3 herë -180+4y.

$$1.2y-54-y=-35$$

Mblidh \frac{6y}{5} me -y.

$$0.2y-54=-35$$

Mblidh 54 në të dyja anët e ekuacionit.

$$0.2y=19$$

Shumëzo të dyja anët me 5.

$$y=95$$

Zëvendëso y me 95 në x=4y-180. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=4\times 95-180$$

Shumëzo 4 herë 95.

$$x=380-180$$

Mblidh -180 me 380.

$$x=200$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=200,y=95$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$45+0.25x-y=0$$

Zbrit 45 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$0.25x-y=-45$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$35+0.3x-y=0$$

Zbrit 35 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$0.3x-y=-35$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&-\frac{-1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\\-\frac{0.3}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&\frac{0.25}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20&20\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\left(-45\right)+20\left(-35\right)\\-6\left(-45\right)+5\left(-35\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\95\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=200,y=95$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$45+0.25x-y=0$$

Zbrit 45 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$0.25x-y=-45$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$35+0.3x-y=0$$

Zbrit 35 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$0.3x-y=-35$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Zbrit 0.3x-y=-35 nga 0.25x-y=-45 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$0.25x-0.3x-y+y=-45+35$$

Mblidh -y me y. Shprehjet -y dhe y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$0.25x-0.3x=-45+35$$

Mblidh \frac{x}{4} me -\frac{3x}{10}.

$$-0.05x=-45+35$$

Mblidh -45 me 35.

$$-0.05x=-10$$

Shumëzo të dyja anët me -20.

$$x=200$$

Zëvendëso x me 200 në 0.3x-y=-35. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$0.3\times 200-y=-35$$

Shumëzo 0.3 herë 200.

$$60-y=-35$$

Zbrit 60 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=-95$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=95$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=200,y=95$$