Zgjidh {l}{41x+53y=135}{53x+41y=147}

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$41x+53y=135$$

Zbrit 53y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$41x=-53y+135$$

Pjesëto të dyja anët me 41.

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

Shumëzo \frac{1}{41} herë -53y+135.

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

Zëvendëso x me \frac{-53y+135}{41} në ekuacionin tjetër, 53x+41y=147.

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

Shumëzo 53 herë \frac{-53y+135}{41}.

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

Mblidh -\frac{2809y}{41} me 41y.

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

Zbrit \frac{7155}{41} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{1128}{41}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

Mblidh \frac{135}{41} me -\frac{53}{41} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Për ta bërë 41x të barabartë me 53x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 53 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 41.

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

Thjeshto.

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

Zbrit 2173x+1681y=6027 nga 2173x+2809y=7155 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

Mblidh 2173x me -2173x. Shprehjet 2173x dhe -2173x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2809y-1681y=7155-6027$$

Mblidh 2809y me -1681y.

$$1128y=7155-6027$$

Mblidh 7155 me -6027.

$$1128y=1128$$

Pjesëto të dyja anët me 1128.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në 53x+41y=147. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$53x+41=147$$

Zbrit 41 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$53x=106$$

Pjesëto të dyja anët me 53.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=1$$