Zgjidh {l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=6$$

$$y=-10$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 4y në të dyja anët.

$$x+4y=-34$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4y-5x=-70$$

Mblidh 5x në të dyja anët e ekuacionit.

$$4y=5x-70$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -70+5x.

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

Zëvendëso y me -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4} në ekuacionin tjetër, 4y+x=-34.

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

Shumëzo 4 herë -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}.

$$5x-70+x=-34$$

Mblidh 5x me x.

$$6x-70=-34$$

Mblidh 70 në të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=36$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=6$$

Zëvendëso x me 6 në y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

Shumëzo \frac{5}{4} herë 6.

$$y=\frac{15-35}{2}$$

Mblidh -\frac{35}{2} me \frac{15}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=-10$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-10,x=6$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 4y në të dyja anët.

$$x+4y=-34$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-10,x=6$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 4y në të dyja anët.

$$x+4y=-34$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Zbrit 4y+x=-34 nga 4y-5x=-70 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

Mblidh 4y me -4y. Shprehjet 4y dhe -4y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-5x-x=-70+34$$

Mblidh -5x me -x.

$$-6x=-70+34$$

Mblidh -70 me 34.

$$-6x=-36$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$x=6$$

Zëvendëso x me 6 në 4y+x=-34. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$4y+6=-34$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4y=-40$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$y=-10$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-10,x=6$$