Zgjidh {l}{4y-3x=8}{ax+4=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 3 x = 8 } \\ { a x + 4 = 2 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$ax+4-2y=0$$

Zbrit 4 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$ax-2y=-4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4y-3x=8$$

Mblidh 3x në të dyja anët e ekuacionit.

$$4y=3x+8$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë 3x+8.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

Zëvendëso y me \frac{3x}{4}+2 në ekuacionin tjetër, -2y+ax=-4.

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

Shumëzo -2 herë \frac{3x}{4}+2.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

Mblidh -\frac{3x}{2} me ax.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

Pjesëto të dyja anët me -\frac{3}{2}+a.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në y=\frac{3}{4}x+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=2,x=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$ax+4-2y=0$$

Zbrit 4 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$ax-2y=-4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=2,x=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$ax+4-2y=0$$

Zbrit 4 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$ax-2y=-4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Për ta bërë 4y të barabartë me -2y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

Thjeshto.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

Zbrit -8y+4ax=-16 nga -8y+6x=-16 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Mblidh -8y me 8y. Shprehjet -8y dhe 8y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Mblidh 6x me -4ax.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

Mblidh -16 me 16.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

Pjesëto të dyja anët me 6-4a.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në -2y+ax=-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-2y=-4$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=2,x=0$$

Gjej x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$ax+4-2y=0$$

Zbrit 4 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$ax-2y=-4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4y-3x=8$$

Mblidh 3x në të dyja anët e ekuacionit.

$$4y=3x+8$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë 3x+8.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

Zëvendëso y me \frac{3x}{4}+2 në ekuacionin tjetër, -2y+ax=-4.

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

Shumëzo -2 herë \frac{3x}{4}+2.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

Mblidh -\frac{3x}{2} me ax.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

Pjesëto të dyja anët me -\frac{3}{2}+a.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në y=\frac{3}{4}x+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=2,x=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$ax+4-2y=0$$

Zbrit 4 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$ax-2y=-4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=2,x=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$ax+4-2y=0$$

Zbrit 4 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$ax-2y=-4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Për ta bërë 4y të barabartë me -2y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

Thjeshto.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

Zbrit -8y+4ax=-16 nga -8y+6x=-16 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Mblidh -8y me 8y. Shprehjet -8y dhe 8y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Mblidh 6x me -4ax.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

Mblidh -16 me 16.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

Pjesëto të dyja anët me 6-4a.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në -2y+ax=-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-2y=-4$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=2,x=0$$