Zgjidh {l}{4x-3y=21}{x=-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 21 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=3$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto y në të dyja anët.

$$x+y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4x-3y=21$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=3y+21$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+21\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë 21+3y.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}$$

Zëvendëso x me \frac{21+3y}{4} në ekuacionin tjetër, x+y=0.

$$\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+y=0$$

Mblidh \frac{3y}{4} me y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{21}{4}=0$$

Zbrit \frac{21}{4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{7}{4}y=-\frac{21}{4}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{7}{4}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{4}\left(-3\right)+\frac{21}{4}$$

Shumëzo \frac{3}{4} herë -3.

$$x=\frac{-9+21}{4}$$

Mblidh \frac{21}{4} me -\frac{9}{4} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto y në të dyja anët.

$$x+y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 21\\-\frac{1}{7}\times 21\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=3,y=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto y në të dyja anët.

$$x+y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

Për ta bërë 4x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$4x-3y=21,4x+4y=0$$

Zbrit 4x+4y=0 nga 4x-3y=21 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$4x-4x-3y-4y=21$$

Mblidh 4x me -4x. Shprehjet 4x dhe -4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-3y-4y=21$$

Mblidh -3y me -4y.

$$-7y=21$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në x+y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-3=0$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=-3$$