Zgjidh {l}{4x=3y}{y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 3 y } \\ { y + 3 = x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$4x-3y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y+3-x=0$$

Zbrit 3 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$y-x=-3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4x-3y=0$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=3y$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 3y$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë 3y.

$$x=\frac{3}{4}y$$

Zëvendëso x me \frac{3y}{4} në ekuacionin tjetër, -x+y=-3.

$$-\frac{3}{4}y+y=-3$$

Mblidh -\frac{3y}{4} me y.

$$\frac{1}{4}y=-3$$

Shumëzo të dyja anët me 4.

$$y=-12$$

Zëvendëso y me -12 në x=\frac{3}{4}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

Shumëzo \frac{3}{4} herë -12.

$$x=-9$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-9,y=-12$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$4x-3y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y+3-x=0$$

Zbrit 3 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$y-x=-3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-3\right)\\4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-9,y=-12$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$4x-3y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y+3-x=0$$

Zbrit 3 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$y-x=-3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

Për ta bërë 4x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$-4x-\left(-3y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Thjeshto.

$$-4x+3y=0,-4x+4y=-12$$

Zbrit -4x+4y=-12 nga -4x+3y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-4x+4x+3y-4y=12$$

Mblidh -4x me 4x. Shprehjet -4x dhe 4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3y-4y=12$$

Mblidh 3y me -4y.

$$-y=12$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=-12$$

Zëvendëso y me -12 në -x+y=-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x-12=-3$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=9$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=-9$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-9,y=-12$$