Zgjidh {l}{4x+9y=-16}{10x+6y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = - 16 } \\ { 10 x + 6 y = 26 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=5$$

$$y=-4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4x+9y=-16$$

Zbrit 9y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=-9y-16$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y-16\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -9y-16.

$$x=-\frac{9}{4}y-4$$

Zëvendëso x me -\frac{9y}{4}-4 në ekuacionin tjetër, 10x+6y=26.

$$10\left(-\frac{9}{4}y-4\right)+6y=26$$

Shumëzo 10 herë -\frac{9y}{4}-4.

$$-\frac{45}{2}y-40+6y=26$$

Mblidh -\frac{45y}{2} me 6y.

$$-\frac{33}{2}y-40=26$$

Mblidh 40 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{33}{2}y=66$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{33}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-4$$

Zëvendëso y me -4 në x=-\frac{9}{4}y-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{9}{4}\left(-4\right)-4$$

Shumëzo -\frac{9}{4} herë -4.

$$x=9-4$$

Mblidh -4 me 9.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=-4$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-9\times 10}&-\frac{9}{4\times 6-9\times 10}\\-\frac{10}{4\times 6-9\times 10}&\frac{4}{4\times 6-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\\\frac{5}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\left(-16\right)+\frac{3}{22}\times 26\\\frac{5}{33}\left(-16\right)-\frac{2}{33}\times 26\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=5,y=-4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

Për ta bërë 4x të barabartë me 10x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 10 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$10\times 4x+10\times 9y=10\left(-16\right),4\times 10x+4\times 6y=4\times 26$$

Thjeshto.

$$40x+90y=-160,40x+24y=104$$

Zbrit 40x+24y=104 nga 40x+90y=-160 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$40x-40x+90y-24y=-160-104$$

Mblidh 40x me -40x. Shprehjet 40x dhe -40x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$90y-24y=-160-104$$

Mblidh 90y me -24y.

$$66y=-160-104$$

Mblidh -160 me -104.

$$66y=-264$$

Pjesëto të dyja anët me 66.

$$y=-4$$

Zëvendëso y me -4 në 10x+6y=26. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$10x+6\left(-4\right)=26$$

Shumëzo 6 herë -4.

$$10x-24=26$$

Mblidh 24 në të dyja anët e ekuacionit.

$$10x=50$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=-4$$