Zgjidh {l}{4x+3y=6}{y=2x-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 6 } \\ { y = 2 x - 8 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=-8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4x+3y=6,-2x+y=-8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4x+3y=6$$

Zbrit 3y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=-3y+6$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+6\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -3y+6.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}$$

Zëvendëso x me -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2} në ekuacionin tjetër, -2x+y=-8.

$$-2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}\right)+y=-8$$

Shumëzo -2 herë -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2}.

$$\frac{3}{2}y-3+y=-8$$

Mblidh \frac{3y}{2} me y.

$$\frac{5}{2}y-3=-8$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{5}{2}y=-5$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{5}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

Shumëzo -\frac{3}{4} herë -2.

$$x=\frac{3+3}{2}$$

Mblidh \frac{3}{2} me \frac{3}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=-8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x+3y=6,-2x+y=-8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{4-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{4-3\left(-2\right)}&\frac{4}{4-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 6-\frac{3}{10}\left(-8\right)\\\frac{1}{5}\times 6+\frac{2}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=3,y=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=-8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x+3y=6,-2x+y=-8$$

Për ta bërë 4x të barabartë me -2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$-2\times 4x-2\times 3y=-2\times 6,4\left(-2\right)x+4y=4\left(-8\right)$$

Thjeshto.

$$-8x-6y=-12,-8x+4y=-32$$

Zbrit -8x+4y=-32 nga -8x-6y=-12 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-8x+8x-6y-4y=-12+32$$

Mblidh -8x me 8x. Shprehjet -8x dhe 8x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-6y-4y=-12+32$$

Mblidh -6y me -4y.

$$-10y=-12+32$$

Mblidh -12 me 32.

$$-10y=20$$

Pjesëto të dyja anët me -10.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në -2x+y=-8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-2x-2=-8$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=-6$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=-2$$